로또 1등 당첨 확률 완전 정리 — 814만분의 1은 어느 정도일까

로또 6/45는 1부터 45까지의 숫자 중 서로 다른 6개를 뽑는 게임입니다. 순서는 상관없으니, 45개 중 6개를 고르는 조합의 수를 세면 됩니다. 이를 계산하면 8,145,060가지가 나옵니다. 그중 당첨 조합은 딱 하나뿐이니, 한 게임(1,000원)의 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다.

감이 잘 안 온다면 이렇게 생각해 보세요. 한 게임을 매주 한 장씩 산다면, 확률적으로 1등이 한 번 나오기까지 약 15만 년이 걸리는 셈입니다.

다른 비교도 있습니다. 서울 인구가 약 940만 명입니다. 서울 시민 전체 중에서 특정 한 사람을 무작위로 골라 맞히는 것과 비슷한 수준입니다. 우리나라 인구를 약 5,100만 명이라고 하면, 전 국민이 각자 한 게임씩 사도 1등은 평균 6명 정도밖에 나오지 않습니다.

로또는 1등만 있는 게 아닙니다. 6개 중 몇 개를 맞히느냐, 그리고 보너스 번호를 맞히느냐에 따라 등수가 갈립니다. 아래는 한 게임 기준 각 등수의 대략적인 확률입니다.

• 1등(6개 일치): 약 814만분의 1
• 2등(5개 + 보너스): 약 136만분의 1
• 3등(5개 일치): 약 3만 5천분의 1
• 4등(4개 일치): 약 733분의 1
• 5등(3개 일치): 약 45분의 1

숫자를 나란히 놓으면 이상한 지점이 보입니다. 2등과 3등은 똑같이 5개를 맞힌 것인데 확률이 26배 차이 납니다. 보너스 번호 하나 때문입니다.

5개를 맞혔을 때 나머지 한 개가 무엇이냐를 따져 보면 이해가 됩니다. 내가 고른 6개 중 5개가 당첨번호와 같다면, 남은 한 개는 당첨번호에 없는 39개 중 하나입니다. 그 39개 가운데 보너스 번호는 딱 하나뿐이고, 나머지 38개는 그냥 빗나간 번호입니다.

그래서 5개를 맞힌 경우 중 38분의 1만 2등이 되고 38분의 38이 3등이 됩니다. 당첨금 차이가 큰 만큼 아쉬움도 큰 자리인데, 구조적으로는 이렇게 갈립니다.

많이 사면 확률이 올라간다는 말은 사실입니다. 산술적으로 틀린 데가 없습니다. 그런데 그 확률이 실제로 어떤 크기인지 숫자로 놓고 보면 이야기가 달라집니다.

5게임(5,000원) — 확률은 8,145,060분의 5, 즉 약 163만분의 1입니다.

50게임(50,000원) — 8,145,060분의 50, 약 16만 3천분의 1입니다.

10배를 샀으니 확률도 정확히 10배가 됐습니다. 여기까지는 기대한 대로입니다. 그런데 16만분의 1도 여전히 아주 작은 수입니다. 매주 5만원씩 산다고 해도, 확률적으로 1등이 한 번 나오려면 평균 3천 년 넘게 걸립니다.

5천원어치를 사든 5만원어치를 사든, 당첨되지 않을 확률은 여전히 99.99% 이상입니다. 10배 차이가 체감으로 이어지지 않는 이유입니다.

평생으로 늘려 봐도 마찬가지입니다. 스무 살부터 여든 살까지 60년 동안 매주 5,000원씩 산다고 하면 약 15,650게임입니다. 그래도 1등을 한 번이라도 맞을 확률은 약 520분의 1, 0.2%가 채 되지 않습니다.

• 1게임 — 814만분의 1
• 5게임 — 163만분의 1
• 50게임 — 16만 3천분의 1
• 1,000게임(100만원) — 8,145분의 1

여기가 핵심입니다. 확률은 아주 작은 수에서 조금 덜 작은 수가 되지만, 지출은 정확히 10배가 됩니다.

복권은 판매액의 약 절반이 당첨금으로 돌아가도록 정해져 있습니다. 나머지는 복권기금과 운영비로 갑니다. 그래서 1,000원짜리 한 게임의 기댓값은 약 500원입니다. 오래 많이 살수록 평균에 수렴하고, 평균은 절반입니다.

많이 살수록 이 손실도 비례해 커집니다. 5천원어치를 사면 평균 2,500원 안팎을 잃고, 5만원어치를 사면 2만 5천원 안팎을 잃습니다. 확률은 10배지만 손실도 10배라는 것이 정확한 표현입니다.

이것은 운의 문제가 아니라 설계입니다. 번호를 어떻게 고르든, 얼마나 오래 사든 바뀌지 않는 구조입니다.

1등만 보면 절망적이지만, 5등까지 포함하면 얘기가 조금 달라집니다. 당첨되는 조합의 수를 전부 더하면 194,130가지이고, 이를 전체 조합으로 나누면 약 2.4%, 대략 42분의 1입니다.

거의 전부 5등(5,000원)입니다. 5게임을 사면 그중 하나라도 5등에 걸릴 확률이 약 10.7%라, 열 번쯤 사면 한 번은 본전 근처를 건지는 셈입니다.

그리고 이 사실이 1등이 매주 나오는 이유이기도 합니다. 한 회차에 팔리는 게임 수가 814만을 훨씬 넘기 때문에, 개인에게는 814만분의 1이어도 전체로 보면 매주 누군가는 맞습니다. 확률이 낮은 것과 아무도 안 맞는 것은 다른 이야기입니다.

자주 나오는 이야기들을 정리하면 이렇습니다. 전부 확률을 바꾸지 않습니다.

자동 vs 수동 — 차이가 없습니다. 어떤 방식으로 고르든 각 조합의 확률은 동일합니다. 역대 1등 중 자동이 많은 것은 자동으로 사는 사람이 많기 때문입니다.

많이 나온 번호 고르기 — 매 회차는 독립적입니다. 지난 회차의 결과가 다음 회차에 영향을 주지 않습니다.

안 나온 번호 고르기 — 같은 이유로 근거가 없습니다. '이제 나올 때가 됐다'는 생각을 도박사의 오류라고 부릅니다.

명당에서 사기 — 많이 파는 곳에서 당첨이 많이 나오는 것은 당연합니다. 그 판매점에서 산 한 장의 확률은 다른 곳과 같습니다.

연속 번호 피하기 — 1·2·3·4·5·6도 다른 어떤 조합과 확률이 정확히 같습니다. 다만 사람들이 잘 안 고르는 조합이라 당첨 시 나눠 갖는 인원이 적을 수는 있습니다. 확률이 아니라 배분의 문제입니다.

여기까지 읽고 나면 사지 말라는 이야기처럼 들릴 수 있습니다. 그런 뜻은 아닙니다.

1,000원으로 일주일을 상상해 보는 것에 값어치를 느낀다면 그것으로 충분합니다. 문제가 되는 것은 투자나 회수 수단으로 생각할 때입니다. 금액을 늘리면 언젠가 회수된다는 기대는 수학적으로 성립하지 않습니다.

기준을 정해 두는 것이 안전합니다. 매주 얼마까지만 쓸지 미리 정하고 그 금액을 넘기지 않는 것입니다. 잃어도 생활에 지장이 없는 범위여야 합니다.

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